Matematica

Approfondimento avanzato dell'analisi matematica moderna. Il corso tratta la teoria della misura e dell'integrazione di Lebesgue, le proprietà degli spazi di Banach e di Hilbert, e i fondamenti dell'analisi funzionale e di Fourier.

Insegnamento avanzato che esplora le varietà differenziabili, i fibrati tangenti e cotangenti e il calcolo esterno sulle forme differenziali. Il corso approfondisce il teorema di Stokes in formulazione generale, la coomologia di de Rham e introduce elementi di geometria Riemanniana e topologia omologica, fornendo strumenti fondamentali per la ricerca matematica teorica.

Studio del comportamento macroscopico dei sistemi fisici a partire dalle leggi microscopiche. Il programma analizza la teoria degli ensemble (microcanonico, canonico, gran canonico), le statistiche quantistiche di Bose-Einstein e Fermi-Dirac, i modelli di transizione di fase come il modello di Ising e i fenomeni critici. È fondamentale per la fisica matematica e la modellistica stocastica.

Corso mirato al raggiungimento del livello B2 del QCER in ambito accademico e professionale. Il programma si focalizza sulla comprensione di articoli scientifici e documentazione tecnica, sulla scrittura di abstract e research paper, e sulla comunicazione di processi logico-matematici e informatici complessi, integrando il lessico specialistico richiesto dai settori STEM.

Approfondimento dei processi stocastici e delle tecniche di simulazione per lo studio di sistemi complessi. Vengono trattati le catene di Markov, i processi di Poisson, i sistemi di particelle interagenti e la teoria delle grandi deviazioni. Il corso integra la teoria analitica con l'uso di algoritmi Monte Carlo per la modellizzazione in fisica, biologia e dinamica delle popolazioni.

Insegnamento dedicato ai metodi computazionali per la risoluzione di problemi di ottimizzazione alla base del Machine Learning. Il programma approfondisce il Gradient Descent (incluso SGD), i metodi di Newton e Quasi-Newton, i moltiplicatori di Lagrange e le condizioni KKT. L'enfasi è sull'addestramento efficiente di modelli complessi e sulla regolarizzazione per prevenire l'overfitting.

Studio delle tecniche matematiche per ricostruire le cause di un fenomeno a partire dai suoi effetti misurati indirettamente. Il corso tratta il mal-condizionamento dei problemi, le tecniche di regolarizzazione (Tikhonov, metodi iterativi) e le applicazioni in ambiti quali l'imaging medico (CT, MRI), il restauro di immagini astronomiche e la geofisica.

Studio dei modelli matematici per sistemi aleatori con particolare attenzione alle martingale e al moto browniano. Il corso tratta le catene di Markov, le disuguaglianze di Doob, i teoremi di convergenza e le proprietà dei processi gaussiani. Fornisce le basi teoriche per la modellizzazione avanzata in ambito fisico e nella Data Science.

Studio dei problemi di minimizzazione di funzionali integrali attraverso il metodo diretto. Il corso approfondisce l'esistenza e la regolarità delle soluzioni in spazi di Banach e Sobolev, analizzando le equazioni di Eulero-Lagrange e le condizioni di semicontinuità. È un insegnamento fondamentale per la modellistica fisica e l'ottimizzazione matematica avanzata.

Insegnamento di frontiera che applica la topologia algebrica all'analisi dei dati (TDA - Topological Data Analysis). Il programma si focalizza sull'omologia persistente per distinguere strutture reali dal rumore nei dataset complessi, studiando algoritmi basati su complessi simpliciali e le loro applicazioni nel Machine Learning e nell'imaging scientifico.

Studio delle equazioni differenziali che descrivono l'evoluzione temporale di sistemi fisici e biologici. Il corso approfondisce la formulazione debole per equazioni non lineari (reazione-diffusione, onde con smorzamento), l'analisi in spazi di Hilbert tramite il metodo di Faedo-Galerkin e la teoria dei sistemi dinamici dissipativi in infinite dimensioni, con focus sugli attrattori globali.

Corso di base che introduce agli strumenti dell'algebra lineare (spazi vettoriali, matrici, sistemi lineari, autovalori) e della geometria analitica nel piano e nello spazio, con studio di coniche e quadriche.

Insegnamento integrato che combina i principi della logica matematica con le tecniche fondamentali dell'analisi infinitesimale. Fornisce le basi del ragionamento deduttivo e gli strumenti del calcolo per lo studio di funzioni e la modellizzazione scientifica.

Esplora le strutture matematiche fondamentalmente discrete piuttosto che continue, fornendo i mattoni essenziali per l'informatica. Argomenti chiave includono la teoria degli insiemi, la logica, la teoria dei grafi e la teoria dei numeri (inclusa l'aritmetica modulare e i numeri primi). Questi concetti sono fondamentali per la progettazione di algoritmi, strutture dati e sistemi crittografici.

Insegnamento avanzato focalizzato sullo studio approfondito delle strutture gruppali e della teoria dei campi. Il programma tratta i teoremi di Sylow, la teoria delle serie di composizione, le estensioni di campi e le basi della teoria di Galois. Il corso fornisce gli strumenti algebrici necessari per affrontare problemi complessi di algebra superiore e le loro applicazioni.

Approfondimento delle conoscenze di algebra moderna con particolare attenzione alla teoria dei gruppi avanzata e alla teoria delle rappresentazioni. Il corso analizza la struttura dei gruppi finiti, la teoria dei caratteri e le rappresentazioni lineari, esplorando le loro applicazioni in diversi contesti matematici e fisici per sviluppare capacità critiche nell'algebra astratta.

Fondamenti teorici e algoritmici per l'analisi e il trattamento di dati digitali uni e bidimensionali. Il programma copre il campionamento, le trasformate di Fourier (DFT/FFT), il filtraggio digitale e le tecniche di miglioramento, restauro e segmentazione delle immagini. Prevede l'implementazione pratica di algoritmi in ambiente Matlab o Python per la risoluzione di problemi reali di ingegneria.

Studio delle basi teoriche dell'analisi convessa e dei metodi numerici di ottimizzazione applicati al Machine Learning. Il corso tratta le funzioni semicontinue, la teoria della dualità, il teorema di Fenchel e lo sviluppo di algoritmi iterativi per problemi di minimo. È un insegnamento chiave per la comprensione matematica degli algoritmi di addestramento dei modelli di intelligenza artificiale.

Introduzione alla teoria delle curve algebriche con focus particolare sulla geometria in caratteristica positiva. Il corso tratta le curve affini e proiettive, l'irriducibilità, le singolarità, il calcolo del genere e il conteggio dei punti razionali su campi finiti. Vengono inoltre esplorate le applicazioni alla teoria dell'informazione, in particolare nella costruzione di codici geometrici di Goppa.

Corso mirato a fornire ai matematici le basi fenomenologiche e concettuali della meccanica quantistica. Il programma analizza la crisi della fisica classica, il dualismo onda-particella, l'equazione di Schrödinger, la notazione di Dirac e lo studio di sistemi modello come l'atomo di idrogeno. Fornisce il contesto fisico necessario per comprendere l'origine di molte strutture analitiche moderne.

Insegnamento dedicato ai metodi classici e moderni per lo studio delle equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE). Il corso copre le equazioni fondamentali della fisica (Laplace, calore, onde), i metodi di risoluzione esatta (separazione delle variabili, trasformata di Fourier) e l'introduzione alla teoria moderna delle soluzioni deboli in spazi di Sobolev.

Studia i principi organizzativi di sistemi composti da numerosi elementi interagenti in modo non lineare. L'insegnamento utilizza modelli matematici e simulazioni informatiche per analizzare proprietà emergenti come l'auto-organizzazione e la robustezza nei sistemi fisici e sociali.

Visione critica dell'evoluzione delle idee matematiche dalle civiltà antiche (Mesopotamia, Egitto, Grecia) al Rinascimento. Il corso analizza fonti originali per comprendere la nascita di concetti chiave come il rigore logico, il numero e la geometria euclidea, contestualizzando lo sviluppo della trasmissione del sapere matematico attraverso il mondo arabo fino alla rivoluzione algebrica italiana.

Analisi epistemologica dello sviluppo della matematica moderna dalla nascita del calcolo infinitesimale al XX secolo. Il programma approfondisce il confronto tra i metodi di Newton e Leibniz, l'evoluzione del concetto di funzione e di rigore nell'analisi dell'Ottocento, la nascita delle geometrie non euclidee e il processo di assiomatizzazione della matematica operato da Hilbert.

Studio delle strutture matematiche composte da nodi e archi per la modellazione di relazioni complesse. Il corso copre la connettività, gli algoritmi di ricerca (BFS/DFS), i problemi classici di Eulero e Hamilton, le proprietà degli alberi, la planarità e la colorazione (Teorema dei Quattro Colori). Vengono inoltre analizzate le applicazioni in informatica, biologia e ottimizzazione su reti.

Insegnamento avanzato focalizzato sulle proprietà geometriche e algebriche delle varietà di dimensione 3. Il programma approfondisce gli spazi di rivestimento, la teoria dei nodi (diagrammi, mosse di Reidemeister, gruppo di Wirtinger) e la classificazione delle varietà nelle categorie topologica, lineare a tratti e differenziabile, esplorando tecniche di triangolazione e chirurgia.